1) Domen funkcije i opseg funkcije.
Domena funkcije je skup svih valjanih vrijednosti argumenata x(promenljiva x), za koje je funkcija y = f(x) odlučan. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y, što funkcija prihvata.
U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.
2) Nule funkcije.
Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.
3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.
Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.
4) Monotonost funkcije.
Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
5) Parna (neparna) funkcija.
Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.
Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost je tačna f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
6) Ograničene i neograničene funkcije.
Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.
7) Periodičnost funkcije.
Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da za bilo koji x iz domena definicije funkcije vrijedi sljedeće: f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).
19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u ekonomiji.
Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi
1. Linearna funkcija.
Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.
Broj A nazvana nagibom prave, jednaka je tangenti ugla nagiba ove linije prema pozitivnom smjeru x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dve tačke.
Svojstva linearne funkcije
1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R
2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R
3. Funkcija uzima nultu vrijednost kada ili.
4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.
5. Linearna funkcija je kontinuirana u cijelom domenu definicije, diferencibilna i .
2. Kvadratna funkcija.
Funkcija oblika, gdje je x varijabla, koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni
LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE I
§ 3 Linearne funkcije i njihovi grafovi
Uzmite u obzir jednakost
at = 2X + 1. (1)
Vrijednost svakog slova X ova jednakost stavlja u korespondenciju vrlo specifično značenje slova at . ako npr. x = 0, onda at = 2 0 + 1 = 1; Ako X = 10, onda at = 2 10 + 1 = 21; at X = - 1 / 2 imamo y = 2 (- 1 / 2) + 1 = 0, itd. Okrenimo se drugoj jednakosti:
at = X 2 (2)
Svaka vrijednost X ova jednakost, kao i jednakost (1), povezuje dobro definiranu vrijednost at . ako npr. X = 2, onda at = 4; at X = - 3 dobijamo at = 9, itd. Jednačine (1) i (2) povezuju dvije veličine X I at tako da svaka vrijednost jednog od njih ( X ) stavlja se u korespondenciju sa dobro definisanom vrednošću druge veličine ( at ).
Ako je svaka vrijednost količine X odgovara vrlo specifičnoj vrijednosti at, zatim ovu vrijednost at naziva se funkcija od X. Magnituda X ovo se zove argument funkcije at.
Dakle, formule (1) i (2) definiraju dvije različite funkcije argumenta X .
Argumentska funkcija X , koji ima formu
y = ax + b , (3)
Gdje A I b - zovu se neki dati brojevi linearno. Primjer linearne funkcije može biti bilo koja od funkcija:
y = x
+ 2 (A
= 1, b
= 2);
at
= - 10 (A
= 0, b
= - 10);
at
= - 3X
(A
= - 3, b
= 0);
at
= 0 (a = b
= 0).
Kao što je poznato iz kursa VIII razreda, graf funkcije y = ax + b je prava linija. Zbog toga se ova funkcija naziva linearnom.
Prisjetimo se kako konstruirati graf linearne funkcije y = ax + b .
1. Grafikon funkcije y = b . At a = 0 linearna funkcija y = ax + b izgleda kao y = b . Njegov grafik je prava linija paralelna sa osom X i osa koja se seci at na ordinatnoj tački b . Na slici 1 vidite grafik funkcije y = 2 ( b > 0), a na slici 2 je grafik funkcije at = - 1 (b < 0).
Ako ne samo A , ali takođe b jednaka nuli, tada funkcija y= ax+ b izgleda kao at = 0. U ovom slučaju, njegov graf se poklapa sa osom X (Sl. 3.)
2. Grafikon funkcije y = ah . At b = 0 linearna funkcija y = ax + b izgleda kao y = ah .
Ako A =/= 0, tada je njegov grafik prava linija koja prolazi kroz ishodište i nagnuta je prema osi X pod uglom φ , čija je tangenta jednaka A (Sl. 4). Za konstruisanje prave linije y = ah dovoljno je pronaći bilo koju njegovu tačku različitu od početka koordinata. Uz pretpostavku, na primjer, u jednakosti y = ah X = 1, dobijamo at = A . Dakle, tačka M sa koordinatama (1; A ) leži na našoj pravoj liniji (slika 4). Sada crtajući pravu liniju kroz ishodište i tačku M, dobijamo željenu pravu liniju y = ax .
Na slici 5, kao primjer je nacrtana ravna linija at = 2X (A > 0), a na slici 6 - ravno y = - x (A < 0).
3. Grafikon funkcije y = ax + b .
Neka b > 0. Zatim prava linija y = ax + b y = ah on b jedinice gore. Kao primjer, slika 7 prikazuje konstrukciju prave linije at = x / 2 + 3.
Ako b < 0, то прямая y = ax + b dobijeno paralelnim pomeranjem linije y = ah na - b units down. Kao primjer, slika 8 prikazuje konstrukciju prave linije at = x / 2 - 3
Direktno y = ax + b može se izgraditi i na drugi način.
Svaka prava linija je u potpunosti određena svojim dvjema tačkama. Stoga, da se nacrta graf funkcije y = ax + b dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove tačke i zatim povući pravu liniju kroz njih. Objasnimo ovo na primjeru funkcije at = - 2X + 3.
At X = 0 at = 3, i at X = 1 at = 1. Dakle, dvije tačke: M sa koordinatama (0; 3) i N sa koordinatama (1; 1) - leže na našoj pravoj. Označavanjem ovih tačaka na koordinatnoj ravni i povezivanjem ravnom linijom (slika 9.) dobijamo grafik funkcije at = - 2X + 3.
Umjesto tačaka M i N, mogle bi se, naravno, uzeti druge dvije tačke. Na primjer, kao vrijednosti X mogli bismo izabrati ne 0 i 1, kao gore, već - 1 i 2.5. Onda za at dobili bismo vrijednosti 5, odnosno - 2. Umjesto tačaka M i N, imali bismo tačke P sa koordinatama (- 1; 5) i Q sa koordinatama (2.5; - 2). Ove dvije tačke, kao i tačke M i N, u potpunosti definiraju željenu liniju at = - 2X + 3.
Vježbe
15. Konstruirajte grafove funkcija na istoj slici:
A) at = - 4; b) at = -2; V) at = 0; G) at = 2; d) at = 4.
Presijecaju li ovi grafovi koordinatne ose? Ako se sijeku, navedite koordinate točaka raskrsnice.
16. Konstruirajte grafove funkcija na istoj slici:
A) at = x / 4 ; b) at = x / 2 ; V) at =X ; G) at = 2X ; d) at = 4X .
17. Konstruirajte grafove funkcija na istoj slici:
A) at = - x / 4 ; b) at = - x / 2 ; V) at = - X ; G) at = - 2X ; d) at = - 4X .
Konstruisati grafove ovih funkcija (br. 18-21) i odrediti koordinate tačaka preseka ovih grafova sa koordinatnim osama.
18. at = 3+ X . 20. at = - 4 - X .
19. at = 2X - 2. 21. at = 0,5(1 - 3X ).
22. Grafikujte funkciju
at = 2x - 4;
pomoću ovog grafikona saznajte: a) na kojim vrijednostima x y = 0;
b) na kojim vrednostima X vrijednosti at negativan i pod kojim uslovima - pozitivan;
c) na kojim vrednostima X količine X I at imaju iste znakove;
d) na kojim vrijednostima X količine X I at imaju različite predznake.
23. Napišite jednačine pravih prikazanih na slikama 10 i 11.
24. Koji od fizičkih zakona koje poznajete su opisani pomoću linearnih funkcija?
25. Kako grafički prikazati funkciju at = - (sjekira + b ), ako je dat graf funkcije y = ax + b ?
Naučite uzimati derivate funkcija. Izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj tački koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, graf može biti ravna ili kriva linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku. Prisjetite se općih pravila po kojima se uzimaju derivati i tek onda prijeđite na sljedeći korak.
- Pročitajte članak.
- Opisano je kako uzeti najjednostavnije izvode, na primjer, izvod eksponencijalne jednadžbe. Proračuni predstavljeni u sljedećim koracima će se zasnivati na metodama opisanim u njima.
Naučite razlikovati probleme u kojima koeficijent nagiba treba izračunati kroz derivaciju funkcije. Problemi ne traže uvijek od vas da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas će se možda tražiti da pronađete stopu promjene funkcije u tački A(x,y). Od vas se takođe može tražiti da pronađete nagib tangente u tački A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti derivaciju funkcije.
Uzmite derivaciju funkcije koja vam je data. Ovdje nije potrebno graditi graf - potrebna vam je samo jednadžba funkcije. U našem primjeru uzmite derivaciju funkcije. Uzmite derivat prema metodama navedenim u gore spomenutom članku:
- Derivat:
Zamijenite koordinate tačke date vam u pronađenu derivaciju da biste izračunali nagib. Derivat funkcije jednak je nagibu u određenoj tački. Drugim riječima, f"(x) je nagib funkcije u bilo kojoj tački (x,f(x)). U našem primjeru:
- Pronađite nagib funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) u tački A(4,2).
- Derivat funkcije:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Zamijenite vrijednost "x" koordinate ove tačke:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Pronađite nagib:
- Funkcija nagiba f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) u tački A(4,2) jednako je 22.
Ako je moguće, provjerite svoj odgovor na grafikonu. Zapamtite da se nagib ne može izračunati u svakoj tački. Diferencijalni račun se bavi složenim funkcijama i složenim grafovima gdje se nagib ne može izračunati u svakoj tački, au nekim slučajevima tačke uopće ne leže na grafovima. Ako je moguće, koristite grafički kalkulator da provjerite da li je nagib funkcije koja vam je data ispravan. U suprotnom, nacrtajte tangentu na grafikon u tački koja vam je data i razmislite da li se vrijednost nagiba koju ste pronašli poklapa s onim što vidite na grafikonu.
- Tangenta će imati isti nagib kao graf funkcije u određenoj tački. Da nacrtate tangentu u datoj tački, pomaknite se lijevo/desno na osi X (u našem primjeru 22 vrijednosti udesno), a zatim jednu gore na osi Y. Označite tačku, a zatim je povežite sa poen koji vam je dat. U našem primjeru spojite tačke sa koordinatama (4,2) i (26,3).
Linearna funkcija je funkcija oblika
x-argument (nezavisna varijabla),
y-funkcija (zavisna varijabla),
k i b su neki konstantni brojevi
Graf linearne funkcije je ravno.
Za kreiranje grafikona to je dovoljno dva bodova, jer kroz dvije tačke možete povući pravu liniju i, osim toga, samo jednu.
Ako je k˃0, onda se graf nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrti. Ako je k˂0, onda se graf nalazi u 2. i 4. koordinatnoj četvrti.
Broj k se naziva nagibom pravog grafa funkcije y(x)=kx+b. Ako je k˃0, tada je ugao nagiba prave linije y(x)= kx+b prema pozitivnom smjeru Ox oštar; ako je k˂0, onda je ovaj ugao tup.
Koeficijent b pokazuje tačku preseka grafika sa osom op-amp (0; b).
y(x)=k∙x-- poseban slučaj tipične funkcije naziva se direktna proporcionalnost. Graf je prava linija koja prolazi kroz ishodište, tako da je jedna tačka dovoljna za konstruisanje ovog grafika.
Grafikon linearne funkcije
Gdje je koeficijent k = 3, dakle
Grafikon funkcije će se povećati i imati oštar ugao sa Ox osom jer koeficijent k ima predznak plus.
OOF linearna funkcija
OPF linearne funkcije
Osim u slučaju kada
Također linearna funkcija forme
Je funkcija općeg oblika.
B) Ako je k=0; b≠0,
U ovom slučaju, graf je prava linija paralelna sa Ox osom i koja prolazi kroz tačku (0; b).
B) Ako je k≠0; b≠0, tada linearna funkcija ima oblik y(x)=k∙x+b.
Primjer 1 . Grafikujte funkciju y(x)= -2x+5
Primjer 2 . Nađimo nule funkcije y=3x+1, y=0;
– nule funkcije.
Odgovor: ili (;0)
Primjer 3 . Odrediti vrijednost funkcije y=-x+3 za x=1 i x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Odgovor: y_1=2; y_2=4.
Primjer 4 . Odredite koordinate njihove tačke preseka ili dokažite da se grafovi ne seku. Neka su date funkcije y 1 =10∙x-8 i y 2 =-3∙x+5.
Ako se grafovi funkcija sijeku, tada su vrijednosti funkcija u ovoj tački jednake
Zamijenite x=1, zatim y 1 (1)=10∙1-8=2.
Komentar. Također možete zamijeniti rezultujuću vrijednost argumenta u funkciju y 2 =-3∙x+5, tada ćemo dobiti isti odgovor y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ordinata presečne tačke.
(1;2) - tačka preseka grafika funkcija y=10x-8 i y=-3x+5.
Odgovor: (1;2)
Primjer 5 .
Konstruirajte grafove funkcija y 1 (x)= x+3 i y 2 (x)= x-1.
Možete primijetiti da je koeficijent k=1 za obje funkcije.
Iz navedenog proizilazi da ako su koeficijenti linearne funkcije jednaki, onda su njihovi grafovi u koordinatnom sistemu paralelni.
Primjer 6 .
Napravimo dva grafikona funkcije.
Prvi graf ima formulu
Drugi grafikon ima formulu
U ovom slučaju imamo grafik dvije prave koje se seku u tački (0;4). To znači da je koeficijent b, koji je odgovoran za visinu uspona grafika iznad ose Ox, ako je x = 0. To znači da možemo pretpostaviti da je koeficijent b oba grafika jednak 4.
Urednici: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Hajde da razmotrimo problem. Motociklista koji je napustio grad A trenutno je udaljen 20 km. Na kojoj udaljenosti s (km) od A će se motociklista nalaziti nakon t sati ako se kreće brzinom od 40 km/h?
Očigledno, za t sati motociklista će preći 50t km. Shodno tome, nakon t sati on će biti na udaljenosti od (20 + 50t) km od A, tj. s = 50t + 20, gdje je t ≥ 0.
Svaka vrijednost t odgovara jednoj vrijednosti s.
Formula s = 50t + 20, gdje je t ≥ 0, definira funkciju.
Hajde da razmotrimo još jedan problem. Za slanje telegrama naplaćuje se naknada od 3 kopejke za svaku reč i dodatnih 10 kopejki. Koliko kopejki (u) treba da platite za slanje telegrama koji sadrži n reči?
Budući da pošiljalac mora platiti 3n kopejki za n riječi, trošak slanja telegrama od n riječi može se pronaći pomoću formule u = 3n + 10, gdje je n bilo koji prirodan broj.
U oba razmatrana problema naišli smo na funkcije koje su date formulama oblika y = kx + l, gdje su k i l neki brojevi, a x i y varijable.
Funkcija koja se može specificirati formulom oblika y = kx + l, gdje su k i l neki brojevi, naziva se linearna.
Pošto izraz kx + l ima smisla za bilo koji x, domen definicije linearne funkcije može biti skup svih brojeva ili bilo koji njen podskup.
Poseban slučaj linearne funkcije je prethodno razmatrana direktna proporcionalnost. Podsjetimo da za l = 0 i k ≠ 0 formula y = kx + l poprima oblik y = kx, a ova formula, kao što je poznato, za k ≠ 0 određuje direktnu proporcionalnost.
Trebamo nacrtati linearnu funkciju f datu formulom
y = 0,5x + 2.
Dobijmo nekoliko odgovarajućih vrijednosti varijable y za neke vrijednosti x:
| X | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Označimo tačke sa koordinatama koje smo dobili: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).
Očigledno, konstruisane tačke leže na određenoj pravoj. Iz ovoga ne slijedi da je graf ove funkcije prava linija.
Da bismo saznali u kakvom obliku izgleda graf funkcije f koji se razmatra, uporedimo ga sa poznatim grafikom direktne proporcionalnosti x – y, gdje je x = 0,5.
Za bilo koji x, vrijednost izraza 0,5x + 2 je veća od odgovarajuće vrijednosti izraza 0,5x za 2 jedinice. Dakle, ordinata svake tačke na grafu funkcije f je za 2 jedinice veća od odgovarajuće ordinate na grafu direktne proporcionalnosti.
Shodno tome, graf dotične funkcije f može se dobiti iz grafa direktne proporcionalnosti paralelnim prevođenjem za 2 jedinice u smjeru y-ose.
Pošto je grafik direktne proporcionalnosti prava linija, onda je i grafik linearne funkcije f koja se razmatra takođe prava linija.
Općenito, grafik funkcije dat formulom oblika y = kx + l je prava linija.
Znamo da je za konstruisanje prave linije dovoljno odrediti položaj njene dve tačke.
Neka, na primjer, trebate nacrtati funkciju koja je data formulom
y = 1,5x – 3.
Uzmimo dvije proizvoljne vrijednosti x, na primjer, x 1 = 0 i x 2 = 4. Izračunajte odgovarajuće vrijednosti funkcije y 1 = -3, y 2 = 3, konstruirajte tačke A (-3; 0) i B (4; 3) i povući pravu liniju kroz ove tačke. Ova prava linija je željeni graf.
Ako domen definicije linearne funkcije nije u potpunosti predstavljen 
brojeva, tada će njegov graf biti podskup tačaka na pravoj (na primjer, zraka, segment, skup pojedinačnih tačaka).
Lokacija grafa funkcije određene formule y = kx + l ovisi o vrijednostima l i k. Konkretno, ugao nagiba grafika linearne funkcije prema x-osi ovisi o koeficijentu k. Ako je k pozitivan broj, onda je ovaj ugao oštar; ako je k negativan broj, tada je ugao tup. Broj k se naziva nagibom prave.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.