Transformacija potpune kvadratne jednadžbe u nepotpunu izgleda ovako (za slučaj \(b=0\)):

Za slučajeve kada je \(c=0\) ili kada su oba koeficijenta jednaka nuli, sve je slično.

Imajte na umu da nema govora o tome da je \(a\) jednako nuli, ne može biti jednako nuli, jer će se u ovom slučaju pretvoriti u:;

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Prije svega, morate shvatiti da je nepotpuna kvadratna jednadžba još uvijek , te da se stoga može riješiti na isti način kao i obična kvadratna jednadžba (preko ). Da bismo to učinili, jednostavno dodamo komponentu koja nedostaje jednadžbi sa nultim koeficijentom.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(3x^2-27=0\)
Rješenje :

		Imamo nepotpunu kvadratnu jednačinu sa koeficijentom \(b=0\). Odnosno, jednačinu možemo napisati na sljedeći način:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Zapravo, ovo je ista jednačina kao na početku, ali sada se može riješiti kao obična kvadratna. Prvo ispisujemo koeficijente.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Izračunajmo diskriminanta koristeći formulu \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Nađimo korijene jednadžbe koristeći formule \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapišite odgovor

Odgovori : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(-x^2+x=0\)
Rješenje :

		Opet nepotpuna kvadratna jednadžba, ali sada je koeficijent \(c\) jednak nuli. Zapisujemo jednačinu kao potpunu.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ili x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nakon što ste naučili rješavati jednačine prvog stepena, naravno, želite raditi s drugima, posebno s jednačinama drugog stepena, koje se inače nazivaju kvadratnim.

Kvadratne jednačine su jednačine kao što su ax² + bx + c = 0, gdje je varijabla x, brojevi su a, b, c, gdje a nije jednako nuli.

Ako je u kvadratnoj jednadžbi jedan ili drugi koeficijent (c ili b) jednak nuli, onda će ova jednačina biti klasifikovana kao nepotpuna kvadratna jednačina.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu ako su učenici do sada mogli riješiti samo jednačine prvog stepena? Razmotrimo nepotpune kvadratne jednadžbe različitih tipova i jednostavne načine za njihovo rješavanje.

a) Ako je koeficijent c jednak 0, a koeficijent b nije jednak nuli, tada se ax ² + bx + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + bx = 0.

Da biste riješili takvu jednadžbu, morate znati formulu za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe, koja se sastoji od faktoringa njene lijeve strane i kasnije korištenja uvjeta da je proizvod jednak nuli.

Na primjer, 5x² - 20x = 0. Lijevu stranu jednačine činimo faktorom, dok izvodimo uobičajenu matematičku operaciju: vadimo zajednički faktor iz zagrada

5x (x - 4) = 0

Koristimo uslov da su proizvodi jednaki nuli.

5 x = 0 ili x - 4 = 0

Odgovor će biti: prvi korijen je 0; drugi korijen je 4.

b) Ako je b = 0, a slobodni član nije jednak nuli, tada se jednačina ax ² + 0x + c = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + c = 0. Jednačine se rješavaju na dva načina : a) faktoringom polinoma jednadžbe na lijevoj strani; b) korištenjem svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena. Takva jednačina se može riješiti pomoću jedne od metoda, na primjer:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odgovor će biti: prvi korijen je 5/2; drugi korijen je jednak - 5/2.

c) Ako je b jednako 0, a c jednako 0, tada se ax ² + 0 + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² = 0. U takvoj jednačini x će biti jednako 0.

Kao što vidite, nepotpune kvadratne jednadžbe ne mogu imati više od dva korijena.

Na jednostavniji način. Da biste to učinili, stavite z iz zagrada. Dobićete: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, pošto oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0, drugu pomičemo udesno s drugačijim predznakom. Odavde dobijamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako postoji nepotpuna jednačina oblika az² + c = 0, u ovom slučaju oni se nalaze jednostavnim pomicanjem slobodnog člana na desnu stranu jednačine. Takođe promenite njen znak. Rezultat će biti az² = -s. Izraziti z² = -c/a. Uzmite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivan i negativan kvadratni korijen.

Bilješka

Ako u jednačini postoje razlomci, pomnožite cijelu jednačinu odgovarajućim faktorom kako biste se riješili razlomaka.

Znanje o rješavanju kvadratnih jednačina je neophodno i za školarce i za studente, ponekad i odrasloj osobi može pomoći u svakodnevnom životu. Postoji nekoliko specifičnih metoda rješenja.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c su numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak “+” može promijeniti u znak “-”.

Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je koristiti Vietin teorem ili pronaći diskriminanta. Najčešća metoda je pronalaženje diskriminanta, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vietin teorem.

Da biste pronašli diskriminanta (D), morate napisati formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će postojati dva korijena, ako je D = 0, tada ostaje samo jedan korijen, točnije možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminanta, koristite formule da pronađete x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, gdje je sqrt funkcija koja znači uzimanje kvadratnog korijena datog broja. Nakon izračunavanja ovih izraza, naći ćete dva korijena vaše jednadžbe, nakon čega se jednačina smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, onda i dalje ima korijene. Ovaj dio se praktično ne uči u školi. Studenti bi trebali biti svjesni da se ispod korijena pojavljuje negativan broj. Oslobode ga se isticanjem imaginarnog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i", koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije dobijamo D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješavanje jednadžbe se svodi na isti nalaz korijena kao što je gore opisano.

Vietin teorem se sastoji od odabira vrijednosti x(1) i x(2). Koriste se dvije identične jednačine: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Štaviše, vrlo važna tačka je znak ispred koeficijenta b, zapamtite da je ovaj znak suprotan onom u jednačini. Na prvi pogled se čini da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, ali pri rješavanju ćete se suočiti s činjenicom da ćete morati odabrati brojeve.

Elementi rješavanja kvadratnih jednačina

Prema pravilima matematike, neki se mogu faktorizirati: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ako ste uspjeli transformirati ovu kvadratnu jednačinu na sličan način koristeći matematičke formule, onda slobodno zapišite odgovor. x(1) i x(2) će biti jednaki susednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od pojmova, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako nema ništa ispred x^2 ili x, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.

Problemi kvadratne jednačine se izučavaju iu školskom programu i na univerzitetima. One znače jednačine oblika a*x^2 + b*x + c = 0, gdje je x- varijabla, a, b, c – konstante; a<>0 . Zadatak je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednačine

Graf funkcije koji je predstavljen kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su točke presjeka parabole sa apscisom (x). Iz toga slijedi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema tačaka preseka sa osom apscise. To znači da se nalazi u gornjoj ravni sa granama gore ili donjem sa granama nadole. U takvim slučajevima, kvadratna jednadžba nema realnih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu tačku preseka sa Ox osom. Takva tačka se naziva vrh parabole, a kvadratna jednačina u njoj dobija svoju minimalnu ili maksimalnu vrednost. U ovom slučaju, kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva identična korijena).

3) Poslednji slučaj je interesantniji u praksi - postoje dve tačke preseka parabole sa osom apscise. To znači da postoje dva realna korijena jednačine.

Na osnovu analize koeficijenata potencija varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o položaju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, onda su grane parabole usmjerene prema gore, ako je negativan, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravni, ako ima negativnu vrijednost, onda u desnoj.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Prenesimo konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti, dobijamo izraz

Pomnožite obje strane sa 4a

Da biste dobili potpuni kvadrat na lijevoj strani, dodajte b^2 na obje strane i izvršite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe

Diskriminant je vrijednost radikalnog izraza, ako je pozitivan, onda jednačina ima dva realna korijena, izračunata po formuli Kada je diskriminanta nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva podudarna korijena), što se lako može dobiti iz gornje formule za D=0. Međutim, rješenja kvadratne jednadžbe nalaze se u kompleksnoj ravni, a njihova vrijednost se izračunava pomoću formule

Vietin teorem

Razmotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i na njihovoj osnovi konstruiramo kvadratnu jednačinu. Sama Vietina teorema lako slijedi iz zapisa: ako imamo kvadratnu jednačinu oblika. tada je zbir njegovih korijena jednak koeficijentu p uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formularni prikaz gore navedenog izgledat će kao Ako je u klasičnoj jednadžbi konstanta a različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednadžbu s njom, a zatim primijeniti Vietin teorem.

Raspored kvadratne jednačine na faktoring

Neka je postavljen zadatak: činiti kvadratnu jednačinu. Da bismo to učinili, prvo rješavamo jednačinu (pronađimo korijene). Zatim zamjenjujemo pronađene korijene u formulu za proširenje kvadratne jednačine. Ovo će riješiti problem.

Problemi kvadratne jednačine

Zadatak 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x^2-26x+120=0 .

Rješenje: Zapišite koeficijente i zamijenite ih u diskriminantnu formulu

Korijen ove vrijednosti je 14, lako ga je pronaći pomoću kalkulatora ili zapamtiti uz čestu upotrebu, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka ću vam dati popis kvadrata brojeva koji se često mogu susresti u takve probleme.
Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u korijen formulu

i dobijamo

Zadatak 2. Riješite jednačinu

2x 2 +x-3=0.

Rješenje: Imamo kompletnu kvadratnu jednačinu, ispišemo koeficijente i pronađemo diskriminanta


Koristeći poznate formule nalazimo korijene kvadratne jednadžbe

Zadatak 3. Riješite jednačinu

9x 2 -12x+4=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednačinu. Određivanje diskriminanta

Dobili smo slučaj gdje se korijeni poklapaju. Pomoću formule pronađite vrijednosti korijena

Zadatak 4. Riješite jednačinu

x^2+x-6=0 .

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti za x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Po njegovom uslovu dobijamo dve jednačine

Iz drugog uslova nalazimo da proizvod mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja (-3;2), (3;-2) . Uzimajući u obzir prvi uslov, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednačine su jednaki

Zadatak 5. Odredite dužine stranica pravougaonika ako je njegov obim 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Pola obima pravougaonika jednaka je zbiru njegovih susjednih stranica. Označimo x kao veću stranu, tada je 18-x njena manja strana. Površina pravokutnika jednaka je proizvodu ovih dužina:
x(18-x)=77;
ili
x 2 -18x+77=0.
Nađimo diskriminanta jednačine

Izračunavanje korijena jednadžbe

Ako x=11, To 18's=7 , suprotno je takođe tačno (ako je x=7, onda je 21's=9).

Zadatak 6. Faktori kvadratnu jednačinu 10x 2 -11x+3=0.

Rješenje: Izračunajmo korijene jednačine, da bismo to uradili nalazimo diskriminanta

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u korijensku formulu i izračunavamo

Primjenjujemo formulu za dekomponovanje kvadratne jednadžbe po korijenima

Otvaranjem zagrada dobijamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Na kojim vrijednostima parametara A , da li jednadžba (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ima jedan korijen?

Rješenje: Direktnom zamjenom vrijednosti a=3 vidimo da nema rješenja. Zatim ćemo koristiti činjenicu da s nultim diskriminantom jednačina ima jedan korijen množenosti 2. Hajde da ispišemo diskriminanta

Hajde da ga pojednostavimo i izjednačimo sa nulom

Dobili smo kvadratnu jednadžbu u odnosu na parametar a čije se rješenje lako može dobiti pomoću Vietine teoreme. Zbir korijena je 7, a njihov proizvod je 12. Jednostavnim pretraživanjem utvrđujemo da će brojevi 3,4 biti korijeni jednadžbe. Pošto smo već na početku proračuna odbacili rješenje a=3, jedino ispravno će biti - a=4. Dakle, za a=4 jednačina ima jedan korijen.

Primjer 2. Na kojim vrijednostima parametara A , jednačina a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Razmotrimo prvo singularne tačke, to će biti vrijednosti a=0 i a=-3. Kada je a=0, jednačina će biti pojednostavljena na oblik 6x-9=0; x=3/2 i postojaće jedan koren. Za a= -3 dobijamo identitet 0=0.
Izračunajmo diskriminanta

i pronađite vrijednost a pri kojoj je pozitivan

Iz prvog uslova dobijamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminanta i korijene jednadžbe


Odredimo intervale u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. Zamjenom tačke a=0 dobijamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3;1/3) funkcija je negativna. Ne zaboravi poentu a=0,što treba isključiti jer izvorna jednadžba ima jedan korijen u sebi.
Kao rezultat, dobijamo dva intervala koji zadovoljavaju uslove problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte sami smisliti zadatke i ne zaboravite uzeti u obzir uslove koji se međusobno isključuju. Dobro proučite formule za rješavanje kvadratnih jednačina, često su potrebne u proračunima u raznim problemima i naukama.

Sa ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednačinu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenje diskriminanta
- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).

Štaviše, odgovor se prikazuje kao tačan, a ne približan.
Na primjer, za jednačinu \(81x^2-16x-1=0\) odgovor je prikazan u sljedećem obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a ne ovako: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u opšteobrazovnim školama prilikom priprema za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odluči se

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednačina
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kao
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.

Definicija.
Kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je slobodni član.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a\neq 0\), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.

Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent od x 2 jednak 1 data kvadratna jednačina. Na primjer, date kvadratne jednadžbe su jednačine
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednačine -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Razmotrimo rješavanje jednadžbi svakog od ovih tipova.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), pomaknite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pošto je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako je \(-\frac(c)(a)>0\), tada jednačina ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) da riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +bx=0 sa \(b \neq 0 \) faktoriramo njenu lijevu stranu i dobijemo jednačinu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \levo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno.

To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako riješiti kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Rešimo kvadratnu jednadžbu u opštem obliku i kao rezultat dobijemo formulu za korene. Ova formula se zatim može koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0

Podijelivši obje strane sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformirajmo ovu jednačinu odabirom kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći diskriminantnu notaciju, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)

Očigledno je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili nema korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminanta pozitivna ili jednaka nuli, onda koristite formulu za korijen ako je diskriminanta negativna, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\left\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)

Povratak