Koje su bočne strane ravne prizme. Prizma

Pretplatite se
Pridružite se zajednici parkvak.ru!
U kontaktu sa:

Predavanje: Prizma, njene osnove, bočna rebra, visina, bočna površina; ravna prizma; ispravna prizma


Prizma


Ako ste kod nas naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo čvrsto tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.


Prizma je trodimenzionalno tijelo koje ima veliki broj lica.

Ova figura ima dva poligona u osnovama, koji se nalaze u paralelnim ravnima, a sve bočne strane imaju oblik paralelograma.


Slika 1. Sl. 2


Dakle, hajde da shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pažnju na sl. 1

Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su paralelne jedna s drugom - to su petouglovi ABCEF i GMNJK. Štaviše, ovi poligoni su međusobno jednaki.

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočnim stranama - sastoje se od paralelograma. Na primjer BMNC, AGKF, FKJE, itd.

Ukupna površina svih bočnih strana naziva se bočna površina.

Svaki par susednih lica ima zajedničku stranu. Ova zajednička strana se zove ivica. Na primjer MV, SE, AB, itd.

Ako su gornja i donja osnova prizme spojene okomicom, onda će se to zvati visinom prizme. Na slici je visina označena kao prava linija OO 1.

Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.

Ako bočne ivice prizme nisu okomite na osnovice, tada se takva prizma naziva skloni.

Ako su svi rubovi prizme okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva ravno.

Ako osnove prizme sadrže pravilne poligone (one sa jednakim stranicama), tada se takva prizma naziva ispravan.

Ako osnove prizme nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takva prizma zvati skraćeno.

To možete vidjeti na slici 2



Formule za pronalaženje zapremine i površine prizme


Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po primjeni:




Slične formule za pronalaženje površine prizme:



Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure koje ne leže u istoj ravni. Jedan od predmeta proučavanja stereometrije su prizme. U članku ćemo definirati prizmu s geometrijske tačke gledišta, a također ćemo ukratko navesti svojstva koja su karakteristična za nju.

Geometrijska figura

Definicija prizme u geometriji je sljedeća: to je prostorna figura koja se sastoji od dva identična n-ugla smještena u paralelnim ravnima, međusobno povezana svojim vrhovima.

Dobijanje prizme nije teško. Zamislimo da postoje dva identična n-ugla, gdje je n broj stranica ili vrhova. Postavimo ih tako da budu paralelne jedna s drugom. Nakon toga, vrhove jednog poligona treba povezati sa odgovarajućim vrhovima drugog. Rezultirajuća figura će se sastojati od dvije n-ugaone stranice, koje se nazivaju baze, i n četverokutnih stranica, koje su općenito paralelogrami. Skup paralelograma čini bočnu površinu figure.

Postoji još jedan način da se geometrijski dobije dotična figura. Dakle, ako uzmemo n-ugao i prenesemo ga u drugu ravan koristeći paralelne segmente jednake dužine, tada ćemo u novoj ravni dobiti originalni poligon. Oba poligona i svi paralelni segmenti povučeni iz njihovih vrhova čine prizmu.

Slika iznad to demonstrira. Tako se zove jer su njegove osnove trouglovi.

Elementi koji čine figuru

Iznad je data definicija prizme, iz koje je jasno da su glavni elementi figure njeni rubovi ili stranice, koje ograničavaju sve unutrašnje točke prizme iz vanjskog prostora. Bilo koje lice dotične figure pripada jednom od dva tipa:

  • bočno;
  • osnove.

Ima n bočnih dijelova i to su paralelogrami ili njihove posebne vrste (pravokutnici, kvadrati). Općenito, bočne strane se međusobno razlikuju. Postoje samo dvije strane baze; oni su n-uglovi i jednaki su jedno drugom. Dakle, svaka prizma ima n+2 stranice.

Osim stranica, lik karakteriziraju i njegovi vrhovi. Oni predstavljaju tačke u kojima se tri lica dodiruju istovremeno. Štaviše, dva od tri lica uvijek pripadaju bočnoj površini, a jedno bazi. Dakle, u prizmi ne postoji posebno dodijeljen jedan vrh, kao što su, na primjer, u piramidi, svi su jednaki. Broj vrhova figure je 2*n (n komada za svaku bazu).

Konačno, treći važan element prizme su njena rebra. To su segmenti određene dužine koji nastaju kao rezultat presjeka strana figure. Poput lica, ivice također imaju dvije različite vrste:

  • ili formirana samo od strane;
  • ili nastaju na spoju paralelograma i stranice n-gonalne baze.

Broj ivica je dakle jednak 3*n, a 2*n od njih pripada drugom od imenovanih tipova.

Vrste prizmi

Postoji nekoliko načina za klasifikaciju prizmi. Međutim, svi se zasnivaju na dvije karakteristike figure:

  • o vrsti n-ugljične baze;
  • na bočnom tipu.

Prvo, okrenimo se drugoj osobini i damo definiciju prave linije. Ako je barem jedna strana opći paralelogram, tada se lik naziva kosim ili kosim. Ako su svi paralelogrami pravokutnici ili kvadrati, tada će prizma biti ravna.

Definicija se također može dati malo drugačije: ravna figura je prizma čiji su bočni rubovi i lica okomiti na njene osnove. Na slici su prikazane dvije četverokutne figure. Lijeva je ravna, desna nagnuta.

Sada pređimo na klasifikaciju prema tipu n-ugla koji leži u bazama. Može imati iste strane i uglove ili različite. U prvom slučaju, poligon se naziva regularnim. Ako dotična figura u svojoj osnovi sadrži mnogokut s jednakim stranicama i uglovima te je ravna, onda se naziva pravilnim. Prema ovoj definiciji, pravilna prizma u svojoj osnovi može imati jednakostranični trougao, kvadrat, pravilan petougao ili šestougao i tako dalje. Navedene regularne brojke prikazane su na slici.

Linearni parametri prizme

Da bi se opisali veličine dotičnih figura, koriste se sljedeći parametri:

  • visina;
  • strane baze;
  • dužina bočnih rebara;
  • volumetrijske dijagonale;
  • dijagonale stranica i baza.

Za pravilne prizme, sve ove veličine su međusobno povezane. Na primjer, dužine bočnih rebara su iste i jednake visini. Za određenu n-gonalnu regularnu figuru postoje formule koje vam omogućavaju da odredite sve ostale koristeći bilo koja dva linearna parametra.

Površina figure

Ako se pozovemo na gore datu definiciju prizme, onda neće biti teško razumjeti što predstavlja površina figure. Površina je površina svih lica. Za ravnu prizmu izračunava se po formuli:

S = 2*S o + P o *h

gdje je S o površina baze, P o je obim n-ugla na bazi, h je visina (razmak između baza).

Volumen figure

Uz površinu za vježbu, važno je znati zapreminu prizme. Može se odrediti pomoću sljedeće formule:

Ovaj izraz vrijedi za apsolutno sve vrste prizme, uključujući i one koje su nagnute i formirane od nepravilnih poligona.

Za ispravne, to je funkcija dužine stranice baze i visine figure. Za odgovarajuću n-gonalnu prizmu, formula za V ima specifičan oblik.

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su prostorna tijela. Tijelo predstavlja dio prostora ograničen određenom površinom.

Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona. Poliedar se naziva konveksan ako se nalazi na jednoj strani ravni svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravni i površine poliedra naziva se rub. Lica konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica se nazivaju ivice poliedra, a vrhovi su vrhovima poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata, koji su njena lica. Sadrži 12 rubova (strane kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravnima kombinovanih paralelnom translacijom, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočne ivice prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj površini naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljik, ako njegova baza sadrži n-ugao.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva, koja proizlaze iz činjenice da su baze prizme kombinovane paralelnim prevođenjem:

1. Osnove prizme su jednake.

2. Bočne ivice prizme su paralelne i jednake.

Površina prizme se sastoji od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (ovo slijedi iz svojstava prizme). Površina bočne površine prizme je zbir površina bočnih strana.

Prava prizma

Prizma se zove ravno, ako su njegove bočne ivice okomite na baze. Inače se naziva prizma skloni.

Površine prave prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je bočnim stranama.

Puna površina prizme naziva se zbir površine bočne površine i površina baza.

Sa pravom prizmom naziva se desna prizma s pravilnim mnogouglom u osnovi.

Teorema 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku perimetra i visine prizme (ili, što je isto, bočnom ivicom).

Dokaz. Bočne strane prave prizme su pravokutnici, čije su osnove stranice mnogouglova u osnovima prizme, a visine su bočne ivice prizme. Tada je, po definiciji, površina bočne površine:

,

gdje je obim osnove ravne prizme.

Paralelepiped

Ako paralelogrami leže u osnovima prizme, onda se naziva paralelepiped. Sva lica paralelepipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

Teorema 13.2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele se na pola presječnom točkom.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelepipeda su paralelogrami, a zatim i , što znači da prema To postoje dvije prave linije paralelne s trećim. Osim toga, to znači da prave linije i leže u istoj ravni (ravnini). Ova ravan siječe paralelne ravnine i duž paralelnih linija i . Dakle, četverougao je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove se dijagonale sijeku i dijele na pola presječnom točkom, što je i trebalo dokazati.

Zove se pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik pravougaoni paralelepiped. Sva lica pravokutnog paralelepipeda su pravokutnici. Dužine neparalelnih ivica pravougaonog paralelepipeda nazivaju se njegovim linearnim dimenzijama (dimenzijama). Postoje tri takve veličine (širina, visina, dužina).

Teorema 13.3. U pravokutnom paralelepipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano primjenom Pitagorinog T dvaput).

Zove se pravougaoni paralelepiped čiji su svi rubovi jednaki kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala ima? n-karbonska prizma

13.2 U nagnutoj trouglastoj prizmi, razmaci između bočnih ivica su 37, 13 i 40. Pronađite rastojanje između veće bočne ivice i suprotne bočne ivice.

13.3 Kroz stranu donje osnove pravilne trouglaste prizme povučena je ravan, koja siječe bočne strane duž segmenata sa uglom između njih. Pronađite ugao nagiba ove ravni prema osnovici prizme.

Osnova prizme može biti bilo koji poligon - trokut, četverokut itd. Obje baze su apsolutno identične, pa su prema tome, s kojima su uglovi paralelnih ivica međusobno povezani, uvijek paralelni. U osnovi pravilne prizme leži pravilan poligon, odnosno onaj u kojem su sve strane jednake. U pravoj prizmi, rebra između bočnih strana su okomita na osnovu. U ovom slučaju osnova ravne prizme može sadržavati mnogokut s bilo kojim brojem uglova. Prizma čija je osnova paralelogram naziva se paralelepiped. Pravougaonik je poseban slučaj paralelograma. Ako ova figura leži u osnovi, a bočne strane se nalaze pod pravim kutom u odnosu na bazu, paralelepiped se naziva pravokutnim. Drugo ime za ovo geometrijsko tijelo je pravougaono.

Kako ona izgleda

U okruženju modernog čovjeka ima dosta pravokutnih prizmi. Ovo je, na primjer, običan karton za cipele, kompjuterske komponente itd. Pogledaj okolo. Čak iu prostoriji ćete vjerovatno vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. To uključuje kućište za kompjuter, policu za knjige, frižider, ormar i mnoge druge stvari. Oblik je izuzetno popularan uglavnom zato što vam omogućava da maksimalno iskoristite svoj prostor, bilo da ukrašavate svoj interijer ili pakujete stvari u karton prije nego što se preselite.

Svojstva pravougaone prizme

Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Kao to može poslužiti bilo koji par lica, jer se sva susjedna lica nalaze pod istim uglom jedna prema drugoj, a taj ugao je 90°. Volumen i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati od bilo koje druge. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu dužinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, samo pomnožite ove mjere. Odnosno, formula izgleda ovako: V=a*b*h, gdje je V volumen, a i b su stranice baze, h je visina koja se poklapa sa bočnom ivicom ovog geometrijskog tijela. Osnovna površina se izračunava pomoću formule S1=a*b. Za bočnu površinu, prvo morate izračunati obim baze koristeći formulu P=2(a+b), a zatim ga pomnožiti sa visinom. Rezultirajuća formula je S2=P*h=2(a+b)*h. Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme, dodajte dva puta površinu osnove i površinu bočne površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Povratak

×
Pridružite se zajednici parkvak.ru!
U kontaktu sa:
Već sam pretplaćen na zajednicu “parkvak.ru”