Centar upisane kružnice proizvoljnog trougla. Formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnih poligona

U savremenom mašinstvu koristi se veliki broj elemenata i rezervnih delova koji u svojoj strukturi imaju spoljašnje i unutrašnje krugove. Najupečatljiviji primjeri su kućišta ležajeva, dijelovi motora, sklopovi glavčine i još mnogo toga. U njihovoj proizvodnji koriste se ne samo uređaji visoke tehnologije, već i znanja iz geometrije, posebno informacije o kružnicama trokuta. U nastavku ćemo se detaljnije upoznati sa ovim znanjem.

U kontaktu sa

Koji krug je upisan, a koji opisan?

Prije svega, zapamtite da je krug beskonačan skup tačaka na jednakoj udaljenosti od centra. Ako je unutar poligona moguće konstruirati kružnicu koja ima samo jednu zajedničku presječnu točku sa svakom stranom, onda će se zvati upisanim. Opisani krug (ne krug, to su različiti pojmovi) je geometrijski lokus tačaka takav da konstruisani lik sa datim poligonom ima zajedničke tačke samo na vrhovima poligona. Hajde da se upoznamo sa ova dva koncepta koristeći jasniji primer (vidi sliku 1.).

Slika 1. Upisane i opisane kružnice trougla

Na slici su konstruirane dvije figure velikog i malog promjera, čiji su centri G i I. Krug veće vrijednosti naziva se opisani krug Δ ABC, a mali, naprotiv, upisan u Δ ABC.

Za opisivanje okoline oko trougla potrebno je povucite okomitu liniju kroz sredinu svake strane(tj. pod uglom od 90°) je tačka preseka, ona igra ključnu ulogu. To će biti centar opisane kružnice. Prije nego što pronađete krug, njegovo središte u trokutu, potrebno je konstruirati svaki ugao, a zatim odabrati točku presjeka linija. On će zauzvrat biti centar upisanog susjedstva, a njegov radijus pod bilo kojim uvjetima bit će okomit na bilo koju od strana.

Na pitanje: "Koliko upisanih krugova može biti za poligon sa tri?" Odgovorimo odmah da se krug može upisati u bilo koji trokut, i to samo jedan. Zato što postoji samo jedna tačka preseka svih simetrala i jedna tačka preseka okomica koje izlaze iz središta stranica.

Svojstvo kružnice kojoj pripadaju vrhovi trougla

Opisani krug, koji zavisi od dužine stranica u osnovi, ima svoja svojstva. Označimo svojstva opisanog kruga:

Da bismo jasnije razumjeli princip opisanog kruga, riješimo jednostavan problem. Pretpostavimo da nam je dat trougao Δ ABC čije su stranice 10, 15 i 8,5 cm. Polumjer opisane kružnice oko trougla (FB) je 7,9 cm. Pronađite stepene mjere svakog ugla i kroz njih površina trougla.

Slika 2. Pronalaženje polumjera kružnice koristeći omjer stranica i sinusa uglova

Rješenje: na osnovu prethodno navedene teoreme o sinusima, nalazimo vrijednost sinusa svakog ugla posebno. Po uslovu je poznato da je stranica AB 10 cm. Izračunajmo vrijednost C:

Koristeći vrijednosti Bradisove tablice, saznajemo da je mjera stepena ugla C 39°. Koristeći istu metodu, možemo pronaći preostale mjere uglova:

Kako znamo da je CAB = 33°, a ABC = 108°. Sada, znajući vrijednosti sinusa svakog od uglova i radijusa, pronađimo površinu zamjenom pronađenih vrijednosti:

Odgovor: Površina trokuta je 40,31 cm², a uglovi su 33°, 108° i 39°, respektivno.

Bitan! Prilikom rješavanja problema ove vrste bilo bi korisno da uvijek imate Bradis tablice ili odgovarajuću aplikaciju na svom pametnom telefonu, jer ručni proces može potrajati. Takođe, da bismo uštedeli više vremena, nije potrebno konstruisati sve tri sredine okomice ili tri simetrale. Bilo koja treća od njih će se uvijek ukrštati u tački ukrštanja prva dva. A za pravoslavnu gradnju, treći je obično završen. Možda je ovo pogrešno kada je u pitanju algoritam, ali na Jedinstvenom državnom ispitu ili drugim ispitima štedi puno vremena.

Izračunavanje polumjera upisane kružnice

Sve tačke kruga su podjednako udaljene od njegovog centra na istoj udaljenosti. Dužina ovog segmenta (od i do) naziva se radijus. U zavisnosti od toga kakvo okruženje imamo, postoje dve vrste - unutrašnje i eksterno. Svaki od njih se izračunava pomoću vlastite formule i direktno je povezan s proračunom parametara kao što su:

• kvadrat;
• mjera stepena svakog ugla;
• dužine stranica i perimetar.

Slika 3. Položaj upisane kružnice unutar trokuta

Možete izračunati dužinu udaljenosti od centra do tačke kontakta sa obe strane na sledeće načine: h kroz strane, strane i uglove(za jednakokraki trougao).

Korištenje poluperimetra

Poluperimetar je polovina zbira dužina svih strana. Ova metoda se smatra najpopularnijom i univerzalnom, jer bez obzira na vrstu trokuta koja je data prema stanju, ona je pogodna za sve. Procedura obračuna je sljedeća:

ako je dato "tačno"

Jedna od malih prednosti "idealnog" trougla je to upisana i opisana kružnica imaju centar u istoj tački. Ovo je zgodno kada se konstruišu figure. Međutim, u 80% slučajeva odgovor je „ružan“. Ovdje se misli na to da će vrlo rijetko radijus upisanog susjedstva biti cijeli, već suprotno. Za pojednostavljeni proračun koristite formulu za polumjer upisane kružnice u trokut:

Ako su stranice iste dužine

Jedna od podvrsta zadataka za državu. ispiti će biti pronalaženje poluprečnika upisane kružnice trougla čije su dvije stranice jednake jedna drugoj, a treća nije. U ovom slučaju preporučujemo korištenje ovog algoritma, koji će značajno uštedjeti vrijeme na traženju promjera upisanog područja. Polumjer upisane kružnice u trokut s jednakim "stranicama" izračunava se po formuli:

Pokazaćemo jasniju primenu ovih formula u sledećem problemu. Neka imamo trougao (Δ HJI), u koji je upisana okolina u tački K. Dužina stranice HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm i stranice HI je 19 cm (slika 4). Pronađite poluprečnik upisane okoline, znajući stranice.

Slika 4. Određivanje vrijednosti poluprečnika upisane kružnice

Rješenje: da bismo pronašli poluprečnik upisane okoline, nalazimo poluperimetar:

Odavde, poznavajući mehanizam izračuna, saznajemo sljedeću vrijednost. Da biste to učinili, trebat će vam duljine svake strane (date prema uvjetu), kao i polovica perimetra, ispada:

Iz toga slijedi da je traženi polumjer 3,63 cm. Prema uvjetu sve stranice su jednake, tada će traženi polumjer biti jednak:

Pod uslovom da je poligon jednakokračan (na primjer, i = h = 10 cm, j = 8 cm), prečnik unutrašnjeg kruga sa središtem u tački K bit će jednak:

Problem može sadržavati trokut sa uglom od 90°; u ovom slučaju nema potrebe za pamćenjem formule. Hipotenuza trougla će biti jednaka prečniku. To jasnije izgleda ovako:

Bitan! Ako je zadatak pronaći unutrašnji radijus, ne preporučujemo izvođenje proračuna koristeći vrijednosti sinusa i kosinusa uglova, čija tablična vrijednost nije precizno poznata. Ako je nemoguće saznati dužinu na drugi način, nemojte pokušavati "izvući" vrijednost ispod korijena. U 40% zadataka, rezultirajuća vrijednost će biti transcendentalna (tj. beskonačna), a komisija možda neće računati odgovor (čak i ako je tačan) zbog njegove nepreciznosti ili netačnog oblika prezentacije. Obratite posebnu pažnju na to kako se formula za polumjer kružnice trokuta može modificirati ovisno o predloženim podacima. Takve „praznine“ vam omogućavaju da unaprijed „vidite“ scenarij rješavanja problema i odaberete najekonomičnije rješenje.

Polumjer i površina unutrašnjeg kruga

Da biste izračunali površinu trokuta upisanog u krug, koristite samo radijus i dužine stranica poligona:

Ako iskaz problema ne daje direktno vrijednost radijusa, već samo površinu, tada se formula naznačene površine pretvara u sljedeću:

Razmotrimo učinak posljednje formule koristeći konkretniji primjer. Pretpostavimo da nam je dat trougao u koji je upisano susjedstvo. Površina susjedstva je 4π, a stranice su 4, 5 i 6 cm, redom. Izračunajmo površinu datog poligona tako što ćemo izračunati poluperimetar.

Koristeći gornji algoritam, izračunavamo površinu trokuta kroz polumjer upisane kružnice:

Zbog činjenice da se krug može upisati u bilo koji trokut, broj varijacija u pronalaženju površine značajno se povećava. One. Pronalaženje površine trokuta zahtijeva poznavanje dužine svake strane, kao i vrijednost radijusa.

Trougao upisan u krug geometrije 7 razreda

Pravokutni trouglovi upisani u krug

Zaključak

Iz ovih formula možete biti sigurni da složenost bilo kojeg problema koji koristi upisane i opisane krugove leži samo u dodatnim akcijama za pronalaženje traženih vrijednosti. Problemi ovog tipa zahtijevaju samo temeljno razumijevanje suštine formula, kao i racionalnost njihove primjene. Iz prakse rješavanja napominjemo da će se u budućnosti centar opisanog kruga pojavljivati ​​u daljim temama geometrije, pa ga ne treba započinjati. U suprotnom, rješenje može biti odloženo nepotrebnim potezima i logičnim zaključcima.

Prvo, shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. To su beskonačan broj tačaka na ravni, koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne centralne tačke. Ali, ako se krug sastoji i od unutrašnjeg prostora, onda on ne pripada krugu. Ispostavilo se da je krug i kružnica koja ga ograničava (krug(r)) i bezbroj tačaka koje se nalaze unutar kruga.

Za bilo koju tačku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Dužina segmenta OL jednaka je poluprečniku kružnice).

Segment koji spaja dvije tačke na kružnici je njegov akord.

Tetiva koja prolazi direktno kroz centar kružnice je prečnika ovaj krug (D). Prečnik se može izračunati pomoću formule: D=2R

Obim izračunato po formuli: C=2\pi R

Područje kruga: S=\pi R^(2)

Luk kruga naziva se onaj njegov dio koji se nalazi između njegove dvije tačke. Ove dvije tačke definiraju dva luka kružnice. Akord CD savija dva luka: CMD i CLD. Identične tetive savijaju jednake lukove.

Centralni ugao Ugao koji leži između dva poluprečnika naziva se.

Dužina luka može se pronaći pomoću formule:

1. Koristeći mjeru stepena: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R

Prečnik, koji je okomit na tetivu, dijeli tetivu i lukove koje ona skuplja na pola.

Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u tački N, tada su proizvodi segmenata tetiva razdvojenih tačkom N jednaki jedan drugom.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangenta na kružnicu

Tangenta na kružnicu Uobičajeno je da se zove prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom.

Ako pravac ima dvije zajedničke tačke, zove se secant.

Ako povučete polumjer do tačke tangente, on će biti okomit na tangentu kružnice.

Nacrtajmo dvije tangente iz ove tačke u našu kružnicu. Ispada da će tangentni segmenti biti jednaki jedan drugom, a središte kruga će se nalaziti na simetrali ugla sa vrhom u ovoj tački.

AC = CB

Sada nacrtajmo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše tačke. Dobijamo da će kvadrat dužine tangentnog segmenta biti jednak proizvodu cijelog sekansnog segmenta i njegovog vanjskog dijela.

AC^(2) = CD \cdot BC

Možemo zaključiti: proizvod cijelog segmenta prve sekante i njegovog vanjskog dijela jednak je proizvodu cijelog segmenta druge sekante i njegovog vanjskog dijela.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Uglovi u krugu

Mere stepena centralnog ugla i luka na koji se oslanja su jednake.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Upisani ugao je ugao čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.

Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovini ovog luka.

\ugao AOB = 2 \ugao ADB

Na osnovu prečnika, upisanog ugla, pravog ugla.

\ugao CBD = \ugao CED = \ugao CAD = 90^ (\circ)

Upisani uglovi koji savijaju isti luk su identični.

Upisani uglovi koji počivaju na jednoj tetivi su identični ili je njihov zbir jednak 180^ (\circ) .

\ugao ADB + \ugao AKB = 180^ (\circ)

\ugao ADB = \ugao AEB = \ugao AFB

Na istom krugu su vrhovi trouglova sa identičnim uglovima i datom bazom.

Ugao s vrhom unutar kruga i koji se nalazi između dvije tetive identičan je polovini zbroja ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar zadanog i vertikalnog kuta.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ugao s vrhom izvan kruga i koji se nalazi između dvije sekante identičan je polovini razlike ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar kuta.

\ugao M = \ugao CBD - \ugao ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\cup DmC - \cup AlB \desno)

Upisan krug

Upisan krug je kružnica tangenta na stranice poligona.

U tački u kojoj se sijeku simetrale uglova mnogougla nalazi se njegov centar.

Krug ne može biti upisan u svaki poligon.

Površina poligona s upisanim krugom nalazi se po formuli:

S = pr,

p je poluperimetar poligona,

r je poluprečnik upisane kružnice.

Iz toga slijedi da je polumjer upisane kružnice jednak:

r = \frac(S)(p)

Zbroji dužina suprotnih strana bit će identični ako je krug upisan u konveksni četverokut. I obrnuto: krug se uklapa u konveksni četverokut ako su zbroji dužina suprotnih strana identični.

AB + DC = AD + BC

Moguće je upisati krug u bilo koji od trouglova. Samo jedan jedini. U tački u kojoj se sijeku simetrale unutrašnjih uglova figure, ležat će centar ove upisane kružnice.

Radijus upisane kružnice izračunava se po formuli:

r = \frac(S)(p) ,

gdje je p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takav krug obično naziva opisano o poligonu.

U tački presjeka okomitih simetrala stranica ove figure bit će centar opisane kružnice.

Radijus se može naći izračunavanjem kao poluprečnik kruga koji je opisan oko trougla definisanog sa bilo koja 3 vrha poligona.

Postoji sljedeći uvjet: krug se može opisati oko četverougla samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak 180^( \circ) .

\ugao A + \ugao C = \ugao B + \ugao D = 180^ (\circ)

Oko bilo kojeg trougla možete opisati krug, i to samo jedan. Središte takvog kruga nalazit će se u tački gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.

Radijus opisane kružnice može se izračunati pomoću formula:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c su dužine stranica trokuta,

S je površina trokuta.

Ptolomejev teorem

Konačno, razmotrite Ptolomejev teorem.

Ptolomejev teorem kaže da je proizvod dijagonala identičan zbiru proizvoda suprotnih strana cikličkog četverokuta.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Vrlo često, kada rješavate geometrijske probleme, morate izvoditi radnje s pomoćnim figurama. Na primjer, pronalaženje polumjera upisane ili opisane kružnice, itd. Ovaj članak će vam pokazati kako pronaći polumjer kružnice opisane trokutom. Ili, drugim riječima, radijus kruga u koji je trokut upisan.

Kako pronaći polumjer kružnice opisane oko trokuta - opća formula

Opšta formula je sljedeća: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), gdje je R polumjer opisane kružnice, p je obim trokuta podijeljen sa 2 (poluperimetar). a, b, c – stranice trougla.

Nađite poluprečnik kruga trougla ako je a = 3, b = 6, c = 7.

Dakle, na osnovu gornje formule, izračunavamo poluperimetar:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Zamjenjujemo vrijednosti u formulu i dobijamo:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Odgovor: R = 126/16√5

Kako pronaći polumjer kružnice koja opisuje jednakostranični trokut

Da biste pronašli polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla, postoji prilično jednostavna formula: R = a/√3, gdje je a veličina njegove stranice.

Primjer: Stranica jednakostraničnog trougla je 5. Nađite polumjer opisane kružnice.

Kako su sve strane jednakostraničnog trougla jednake, da biste riješili problem, potrebno je samo unijeti njegovu vrijednost u formulu. Dobijamo: R = 5/√3.

Odgovor: R = 5/√3.

Kako pronaći poluprečnik kružnice koja opisuje pravougli trokut

Formula je sljedeća: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, gdje su a i b katete, a c hipotenuza. Ako zbrojite kvadrate kateta u pravokutnom trokutu, dobit ćete kvadrat hipotenuze. Kao što se može vidjeti iz formule, ovaj izraz je ispod korijena. Izračunavanjem korijena kvadrata hipotenuze dobijamo samu dužinu. Množenjem rezultujućeg izraza sa 1/2 na kraju dolazimo do izraza 1/2 × c = c/2.

Primjer: Izračunajte polumjer opisane kružnice ako su kraci trokuta 3 i 4. Zamijenite vrijednosti u formulu. Dobijamo: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

U ovom izrazu, 5 je dužina hipotenuze.

Odgovor: R = 2,5.

Kako pronaći polumjer kružnice koja opisuje jednakokraki trokut

Formula je sljedeća: R = a²/√(4a² – b²), gdje je a dužina bedra trougla, a b dužina osnove.

Primjer: Izračunajte polumjer kružnice ako je njen bok = 7, a baza = 8.

Rješenje: Zamijenite ove vrijednosti u formulu i dobijete: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Odgovor se može napisati direktno ovako.

Odgovor: R = 49/√132

Online resursi za izračunavanje polumjera kružnice

Može se vrlo lako zbuniti u svim ovim formulama. Stoga, ako je potrebno, možete koristiti online kalkulatore koji će vam pomoći u rješavanju problema s pronalaženjem radijusa. Princip rada ovakvih mini programa je vrlo jednostavan. Zamenite bočnu vrednost u odgovarajuće polje i dobićete gotov odgovor. Možete odabrati nekoliko opcija za zaokruživanje odgovora: na decimale, stotinke, hiljadinke itd.

Ako se krug nalazi unutar ugla i dodiruje njegove stranice, naziva se upisanim u ovaj kut. Središte takvog upisanog kruga nalazi se na simetrala ovog ugla.

Ako leži unutar konveksnog mnogougla i dodiruje sve njegove strane, naziva se upisanim u konveksni poligon.

Krug upisan u trokut dodiruje svaku stranu ove figure samo u jednoj tački. U jedan trougao može biti upisan samo jedan krug.

Polumjer takve kružnice ovisit će o sljedećim parametrima trokuta:

1. Dužine stranica trougla.
2. Njegova oblast.
3. Njegov perimetar.
4. Mjerenje uglova trougla.

Da bi se izračunao polumjer upisane kružnice u trokut, nije uvijek potrebno poznavati sve gore navedene parametre, jer su oni međusobno povezani kroz trigonometrijske funkcije.

Proračun korištenjem poluperimetra

1. Ako su poznate dužine svih strana geometrijske figure (označavamo ih slovima a, b i c), tada će se polumjer morati izračunati uzimanjem kvadratnog korijena.
2. Prilikom početka proračuna potrebno je početnim podacima dodati još jednu varijablu - poluperimetar (p). Može se izračunati sabiranjem svih dužina i dijeljenjem rezultujuće sume sa 2. p = (a+b+c)/2. Na ovaj način se formula za pronalaženje radijusa može značajno pojednostaviti.
3. Općenito, formula bi trebala uključivati ​​znak radikala pod kojim je razlomak stavljen; nazivnik ovog razlomka će biti vrijednost poluperimetra p.
4. Brojač ovog razlomka bit će proizvod razlika (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Dakle, puni oblik formule će biti predstavljen na sljedeći način: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Proračun uzimajući u obzir površinu trokuta

Ako znamo površina trougla i dužine svih njegovih strana, to će nam omogućiti da pronađemo radijus kruga koji nas zanima bez pribjegavanja vađenju korijena.

1. Prvo morate udvostručiti površinu.
2. Rezultat je podijeljen zbirom dužina svih strana. Tada će formula izgledati ovako: r = 2*S/(a+b+c).
3. Ako koristite vrijednost poluperimetra, možete dobiti vrlo jednostavnu formulu: r = S/p.

Proračun pomoću trigonometrijskih funkcija

Ako iskaz problema sadrži dužinu jedne od stranica, vrijednost suprotnog ugla i perimetar, možete koristiti trigonometrijsku funkciju - tangentu. U ovom slučaju, formula za izračun će izgledati ovako:

r = (P /2- a)* tg (α/2), gdje je r željeni polumjer, P je obim, a je dužina jedne od stranica, α je vrijednost suprotne strane, a ugao.

Poluprečnik kruga koji treba da se upiše u pravilan trougao može se naći pomoću formule r = a*√3/6.

Krug upisan u pravougli trokut

Možete se uklopiti u pravougaoni trougao samo jedan krug. Središte takve kružnice istovremeno služi kao presjek svih simetrala. Ova geometrijska figura ima neke karakteristične karakteristike koje se moraju uzeti u obzir pri izračunavanju polumjera upisane kružnice.

1. Prvo morate izgraditi pravokutni trokut sa datim parametrima. Takvu figuru možete konstruirati po veličini jedne strane i vrijednostima dva ugla, ili po dvije strane i kutu između ovih strana. Svi ovi parametri moraju biti specificirani u uvjetima zadatka. Trougao je označen kao ABC, pri čemu je C vrh pravog ugla. Noge su označene varijablama, A I b, a hipotenuza je varijabla With.
2. Za konstruiranje klasične formule i izračunavanje polumjera kružnice potrebno je pronaći dimenzije svih strana figure opisane u opisu problema i iz njih izračunati poluperimetar. Ako uvjeti daju veličine dva kraka, možete ih koristiti za izračunavanje veličine hipotenuze na osnovu Pitagorine teoreme.
3. Ako uvjet daje veličinu jedne noge i jednog kuta, potrebno je razumjeti da li je ovaj kut susjedan ili suprotan. U prvom slučaju hipotenuza se nalazi pomoću teoreme sinusa: c=a/sinSAV, u drugom slučaju se primjenjuje kosinusna teorema c=a/cosCBA.
4. Kada su svi proračuni završeni i vrijednosti svih strana su poznate, poluperimetar se nalazi pomoću gore opisane formule.
5. Znajući veličinu poluperimetra, možete pronaći radijus. Formula je razlomak. Njegov brojilac je proizvod razlika između poluperimetra i svake strane, a nazivnik je vrijednost poluperimetra.

Treba napomenuti da je brojilac ove formule indikator područja. U ovom slučaju, formula za pronalaženje radijusa je mnogo jednostavnija - dovoljno je podijeliti područje poluperimetrom.

Moguće je odrediti površinu geometrijske figure čak i ako su poznate obje strane. Zbroj kvadrata ovih kateta se koristi za pronalaženje hipotenuze, a zatim se izračunava poluperimetar. Površinu možete izračunati množenjem vrijednosti nogu jedna s drugom i dijeljenjem rezultata sa 2.

Ako su u uslovima date dužine i kateta i hipotenuze, poluprečnik se može odrediti pomoću vrlo jednostavne formule: za to se dužine kateta zbrajaju, a dužina hipotenuze oduzima se od rezultirajuće broj. Rezultat se mora podijeliti na pola.

Video

U ovom videu ćete naučiti kako pronaći polumjer kružnice upisane u trokut.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

MKOU "Srednja škola Volchikhinskaya br. 2"

Učiteljica Bakuta E.P.

9. razred

Lekcija na temu "Formule za poluprečnike upisanih i opisanih kružnica pravilnih mnogouglova"

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: izučavanje formula za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnih poligona;

Razvojni: aktiviranje kognitivne aktivnosti učenika kroz rješavanje praktičnih problema, sposobnost odabira pravog rješenja, jezgrovitog izražavanja mišljenja, analize i izvođenja zaključaka.

Vaspitno: organizovanje zajedničkih aktivnosti, usađivanje kod učenika interesovanja za predmet, dobre volje i sposobnosti da slušaju odgovore svojih drugova.

Oprema: multimedijalni računar, multimedijalni projektor, ekran za ekspoziciju

Napredak lekcije:

1. Organizacioni momenat

Da argumentujem pravu stvar,

A moto naše lekcije bit će ove riječi:

Mislite kolektivno!

Riješite brzo!

Odgovorite dokazima!

Borite se jako!

2. Motivacija časa.

3. Ažuriranje osnovnih znanja. Provjera d/z.

Frontalna anketa:

Koji oblik se naziva poligon?

Koji se poligon naziva pravilnim?

Koji je drugi naziv za pravilan trougao?

Koji je drugi naziv za pravilan četvorougao?

Formula za zbir uglova konveksnog poligona.

Formula ugla pravilnog poligona.

4. Proučavanje novog gradiva. (slajdovi)

Kaže se da je kružnica upisana u poligon ako sve strane poligona dodiruju krug.

Krug se naziva opisanim oko poligona ako svi vrhovi poligona leže na krugu.

Krug može biti upisan ili opisan oko bilo kojeg trokuta, a središte kružnice upisane u trokut leži na sjecištu simetrala trokuta, a središte kružnice opisane oko trokuta leži u sjecištu simetrala okomite .

Krug se može opisati oko bilo kojeg pravilnog poligona, a krug se može upisati u bilo koji pravilan poligon, a centar kružnice opisane oko pravilnog mnogougla poklapa se sa središtem kruga upisanog u isti poligon.

Formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnog trougla, pravilnog četvorougla, pravilnog šestougla.

Radijus upisane kružnice u pravilnom poligonu (r):

a - strana poligona, N - broj strana poligona

Radijus kruga pravilnog poligona (R):

a je strana poligona, N je broj strana poligona.

Popunimo tabelu za pravilan trougao, pravilan četvorougao, pravilan šestougao.

5. Konsolidacija novog materijala.

Riješi br. 1088, 1090, 1092, 1099.

6. Fizičke vježbe . Jedan - istegni se Dva - sagni se

Tri - pogledaj okolo Četiri - sedi

Pet - ruke gore Šest - napred

Sedam - spušteno Osam - sjelo

Devet - ustao Deset - ponovo seo

7. Samostalni rad učenika (rad u grupama)

Reši br. 1093.

8. Sažetak lekcije. Refleksija. D/z.

Kakav ste utisak stekli? (Sviđa mi se – nije mi se svidjelo)

– Kako se osećate posle časa? (radosno - tužno)

- Kako se osjećaš? (Umoran - nije umoran)

– Kakav je vaš stav prema obrađenom materijalu? (Shvatio - nisam shvatio)

– Kakvo je vaše samopoštovanje nakon časa? (Zadovoljan – nisam zadovoljan)

– Procijenite svoju aktivnost na času. (Pokušao sam - nisam pokušao).

ponoviti paragrafe 105-108;

naučiti formule;

№ 1090, 1091, 1087(3)

Matematika ima glasine

Da ona svoj um dovede u red,

Jer dobre reči

Ljudi često pričaju o njoj.

Daješ nam geometriju

Kaljenje je važno za pobedu.

Mladi ljudi uče sa vama

Razvijajte i volju i domišljatost.

Bilješka Prezentacija sadrži sekcije:

Ponavljanje teorijskog gradiva

Provjera domaćeg

Izvođenje osnovnih formula, tj. novi materijal

Konsolidacija: rješavanje problema u grupama i samostalno

Pogledajte sadržaj prezentacije
"9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2"

• Da argumentujem pravu stvar,
• Da ne bi znao neuspjehe u životu,
• Hajdemo hrabro u svet matematike,
• U svijet primjera i različitih zadataka.

MOTO LEKCIJE

Mislite kolektivno!

Riješite brzo!

Odgovorite dokazima!

Borite se jako!

A otkrića nas definitivno čekaju!

Ponavljanje.

• Koja geometrijska figura

prikazano na slici?

D

E

2.Kako se zove poligon

tačno?

O

3.Kako se zove krug

upisan u poligon?

F

WITH

4.Kako se zove krug

opisano o poligonu?

5.Imenujte poluprečnik upisane kružnice.

A

IN

N

6. Imenujte poluprečnik opisane kružnice.

7.Kako pronaći centar upisanog u ispravnom

kružni poligon?

8. Kako pronaći centar opisane kružnice

pravilan poligon?

Provjera napretka

zadaća ..

№ 1084.

β – odgovarajući ugao

luk koji je povučen zajedno

strana poligona .

O

A P

A 2

β

odgovori:

a) 6;

b) 12;

A

A 1

u 4;

d) 8;

d) 10

e) 20;

e) 7.

e) 5.

REGULAR POLYGON

Pravilan mnogokut je konveksan mnogokut u kojem su svi uglovi jednaki i sve stranice jednake.

Zbir pravih uglova n -kvadrat

Ugao ispravan n - kvadrat

Za krug se kaže da je upisan u poligon

ako sve strane poligona dodiruju ovaj krug.

Krug se naziva opisanim oko poligona ako svi njegovi vrhovi leže na njemu

krugovima.

Upisana i opisana kružnica

Krug upisan u pravilan poligon dodiruje stranice poligona u njihovim središtima.

Središte kružnice opisane oko pravilnog poligona poklapa se sa središtem kruga upisanog u isti poligon.

Izvedemo formulu za polumjere upisanog i opisanog kruga pravilnog poligona.

Neka je r polumjer upisane kružnice,

R – poluprečnik opisane kružnice,

n – broj stranica i uglova poligona.

Zamislite regularni n-ugao.

Neka je a strana n-ugla,

α – ugao.

Konstruirajmo tačku O - centar upisane i opisane kružnice.

OS – visina ∆AOB.

∟ S = 90 º - (po konstrukciji),

Razmotrimo ∆AOC:

∟ OAS = α /2 - (OA je simetrala ugla p-ugla),

AC = a/2 – (OS – medijana osnovice jednakokračnog trokuta),

∟ AOB = 360 º: p,

neka je ∟AOC = β.

tada je β = 0,5 ∙ ∟AOB

0,5∙(360º:p)

2 sin (180º:n)

2 tg (180º:p)

Površina pravilnog poligona

Strana pravilnog poligona

Radijus upisane kružnice

Grupa 1 Dato: R , n =3 Nađi: a

Grupa 2 Dato: R , n =4 Nađi: a

Grupa 3 Dato: R , n =6 Nađi: a

Grupa 4 Dato: r , n =3 Nađi: a

Grupa 5 Dato: r , n = 4 Pronaci

Grupa 6 Dato: r , n = 6 Pronaci

Grupa 1 Dato: R , n =3 Nađi: a

Grupa 2 Dato: R , n =4 Nađi: a

Grupa 3 Dato: R , n =6 Nađi: a

Grupa 4 Dato: r , n =3 Nađi: a

Grupa 5 Dato: r , n = 4 Pronaci

Grupa 6 Dato: r , n = 6 Pronaci

n = 3

n = 4

n = 6

2 tg (180º:p)

2 sin (180º:n)

zatim 180 º: str

Pravilan trokut ima n = 3,

odakle je 2 sin 60 º =

zatim 180 º: str

Pravilan četvorougao ima n = 4,

odakle je 2 sin 45 º =

Pravilan šestougao ima n = 6,

zatim 180 º: str

odakle je 2 sin 30 º =

Koristeći formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica nekih pravilnih poligona, izvedite formule za nalaženje ovisnosti stranica pravilnih mnogouglova od polumjera upisanih i opisanih kružnica i popunite tabelu:

2 R ∙ sin (180 º: n)

2 r ∙ tg (180 º: p)

trougao

hexagon

pp. 105 – 108;

№ 1087;

№ 1088 – pripremiti sto.

n=4

R

r

a 4

P

2

6

4

S

28

16

3

3√2

24

32

2√2

4

16

16

16√2

32

4√2

2√2

7

3,5√2

3,5

49

4

2√2

16

2

№ 1087(5)

Dato: S=16 , n =4

Nađi: a, r, R, P

Znamo formule:

№ 1088( 5 )

Dato: P=6 , n = 3

Nađi: R, a, r, S

Znamo formule:

№ 108 9

Dato:

Nađi:

Sažmite

Znamo formule:

• ponoviti paragrafe 105-108;
• naučiti formule;
• № 1090, 1091, 1087(3)

Povratak