Тема: «Нестандартные методы решения уравнений»
Цель: рассмотреть некоторые методы решения уравнений, позволяющие учащимся подготовиться к решению задач выпускных экзаменов.
Ход урока.
1. Изучение теоретического материала.
МЕТОД ПОДБОРА КОРНЕЙ .
Уравнения вида https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src=">рациональным уравнением n-ой степени.
1) Если целое число N является корнем.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" height="40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height="30 src=">.
Решение. В рассматриваемом случае https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">
Таким образом, несократимая дробь https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src=">; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> является рациональным решением исходного уравнения.
Пример 2. Найти целые корни многочлена f (x )= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Подставляя полученные числа в исход ный многочлен можно убедиться, что числа1, 2,-2 являются корнями многочлена.
5) Многочлен является непрерывной функцией, поэтому если на концах https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" width="51" height="29 src="> существует хотя бы один корень этого многочлена.
Пример 3. Найти хотя бы один целый корень многочлена f (x )= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Следовательно, хотя бы один корень лежит в интервале https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">
Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">
Решение. Старший коэффициент равен 1, а свободный член имеет делители 1,2,8,16, следовательно, это уравнение имеет рациональный корень, то этот корень непременно целый и находится среди чисел если https://pandia.ru/text/78/386/images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">
Следовательно, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">
Задачи для самостоятельного решения.
1..png" width="265" height="29 src=">
3..png" width="89" height="29 src=">+10х+24=0;
5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png" width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">
Данный многочлен должен быть тождественно равным исходному многочлену, что возможно при равенстве коэффициентов при соответствующих степенях.
2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src=">=1.
Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде:
2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">
Пример1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src=">.png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.
«Нестандартные методы решения уравнений»
Кубанова Ольга Николаевна, учитель математики,
МБОУ «Плесецкая средняя школа»
« Процесс решения уравнения -
есть просто акт приведения его к более простой форме.
Но в некоторых формах его нелегко прочесть.
Решение его аналогично переводу
незнакомой фразы на понятный нам язык»
Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приёмов, предназначенных для вполне определённых типов уравнений, но и теми «нестандартными» методами, о которых я хочу рассказать.
Суть этих методов – реализовать «иной взгляд» на задачу, что позволяет, не выходя за рамки школьной программы, существенно упростить решение некоторых задач, то есть мы будем применять хорошо известные утверждения, но в ситуациях, где ими пользуются сравнительно редко.
Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, нестандартные методы предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей у детей, а также повышение качества обучения математике.
Я остановлюсь на методе, где для решения уравнений используются свойства функций, входящих в уравнение.
Исследование области определений и области значений функций:
Заметим, что и 
и 
Поэтому равенство невозможно.
Ответ: нет корней.
Свойства монотонности функций:
Это уравнение можно решить стандартным способом, а можно проще. В левой части уравнения – возрастающая функция, а в правой – убывающая. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 1 – корень уравнения, что можно проверить подстановкой.
Возводить в пятую степень представляется бесперспективным. Пусть , тогда . Рассмотрим функции: и . Эти функции взаимно обратные, возрастает, то равносильно уравнению .
Корень один, т.к. слева – возрастающая функция, справа – убывающая функция.
Использование « неотрицательности» функций:
.
Все слагаемые левой части неотрицательны, следовательно равенство возможно, только если каждое из слагаемых равно нулю.
Эти два равенства противоречат друг другу. Система не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Чтобы использовать эти методы для решения уравнений, необходимо хорошо знать теоретический материал. Используя эти методы, экономится время, что позволяет решить больше заданий. А это немало важно при написании контрольных работ и сдаче ЕГЭ.
Свойства функций:
Т-1:
Использование суперпозиций функций:
Т -2:
«Неотрицательность» функций.
Свойства функций:
Область определения и область значения квадратного корня.
Свойства монотонности функции:
Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.
Использование суперпозиций функций:
Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.
«Неотрицательность» функций.
Свойства функций:
Область определения и область значения квадратного корня.
Свойства монотонности функции:
Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.
Использование суперпозиций функций:
Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.
«Неотрицательность» функций.
Научный руководитель:
с. Выдрино
Введение ……………………………………………………………………………….3
Основная часть ………………………………………………………………………..4
Умножение уравнения на функцию…………………………………………………...4
Метод неопределённых коэффициентов………………………………………………4
Подбор корня многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту….5
Введение параметра…………………………………………………………………….6
Введение новой неизвестной…………………………………………………………..6
Комбинация различных методов………………………………………………………6
Угадывание корня………………………………………………………………………6
Использование суперпозиции функции……………………………………………….7
Раскрытие знаков модулей……………………………………………………………..8
Уравнение вида f(x) = g(x)…………………………………………………………….8
Уравнение вида f(x) = g(x)……………………………………………………………9
Использование свойств абсолютной величины……………………………………….9
Понижение степени уравнения…………………………………………………………10
Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных………………………………………………………………………10
Использование ограниченности функций………………………………………………12
Заключение……………………………………………………………………………….14
Список использованной литературы …………………………………………………15
Введение
Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса математики.
Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.
В моей работе систематизирован ряд таких приёмов.
Я изучила методы решения уравнений, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций: монотонности, ограниченности, чётности; применении производной и др.
Моя работа может помочь учащимся и особенно тем из них, кто собирается поступать в высшие учебные заведения в области точных наук, разобраться какими легче и быстрее решить те или иные уравнения, потому что всех изученных по школьной программе методов недостаточно для поступления в ВУЗ.
Кроме этого, в моей работе разобрана масса «хитрых» методов и приёмов решения различных равенств.
Что касается теории, то она предоставлена выборочно, исходя из соображений её применения к тем уравнениям, которые я здесь рассмотрела.
Задачи работы:
· Изучить умножение уравнения на функцию.
· Изучить метод неопределённых коэффициентов.
· Изучить подбор многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту.
· Изучить введение параметра.
· Изучить введение новой неизвестной.
· Изучить комбинирование различных методов.
· Изучить угадывание корня.
· Изучить использование суперпозиции функции.
· Изучить раскрытие знаков модулей.
· Изучить уравнения вида f(x)=g(x).
· Изучить уравнения вида f(x)=g(x).
· Изучить использование свойств абсолютной величины.
· Изучить понижение степени уравнения.
· Изучить решения некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.
· Изучить использование ограниченности функции.
Основная часть
Умножение уравнения на функцию.
Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.
Пример1. Решить уравнение:
X3 – X6 + X4 – X 2 + 1 =
Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:
(Х2 +1) (Х8 – Х 6 + Х4 – Х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:
Х10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.
Ответ: нет решений.
Пример 2 . Решить уравнение:
6Х3 – Х 2 – 20Х + 12 = 0 (4)
Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х + ½, получим уравнение:
6Х4 + 2Х3 – 41/2Х2 + 2Х + 6 = 0 (5)
являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень Х = -1/2, не являющийся корнем уравнения (4).
Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку Х=0 не является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на 2Х2 и перегруппировав его члены, получим уравнение:
3(Х2 +1/Х2) + (Х +1/Х) – 41/4 = 0 (6)
равносильное уравнению (5). Обозначив Y= Х + 1/Х, перепишем уравнение (6) в виде
3Y2 + Y – 65/4 =0 (7)
уравнение (7) имеет два корня: Y1= -5/2 и Y 2 = 13/6. Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:
Х + 1/Х = 15/6,
Х + 1/Х = -5/2.
Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5)
Так как корень Х4 = -1/2 является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: Х1, Х2, Х3.
Ответ: Х1 =2/3, Х2 = 3/2, Х3 = -2.
Метод неопределенных коэффициентов.
Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителя – многочленов, на которые разлагается данный многочлен, этот метод опирается на следующие утверждения.
1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;
2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.
3) Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух много членов второй степени.
Пример 1 . Разложить на множители многочлен.
Решение. Будем искать многочлены Х - £ и β1Х2+ β2Х+ β3 такие, что справедливо тождественное равенство
Х3-5Х2+7Х-3= (Х - £)(β1Х2+ β2Х+ β3).(1)
Правую часть этого равенства можно записать в виде. β15 Х3+(β2+ £ β1) Х2+(β3 -£ β2)Х+£ β3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения £ ,β1, β2, β3 ;
β2 - £ β1 = -5
Легко видеть, что этим равенством удовлетворяют числа β1=1, β2=-2, β3=1, £=3, а это означает, что многочлен Х3-5Х2+7Х-3 разлагается на множители Х-3 и Х2-2Х+1
Подбор корня многочлен по его старшему и свободному коэффициентам.
Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:
1) если многочлен ап+ап-1Х+…+а0Хп, а0≠0, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень Х0=р/g (где р/g – несократимая дробь, рЄZgЄN), то р – делитель свободного члена ап, а g – делитель старшего коэффициента d0;
2) если каким – либо образом подобран корень Х= £ многочлена рп(Х) степени n, то многочлен рп(Х) можно представить в виде рп(Х) =(Х - £) рп-1(Х), где рп-1(Х) – многочлен степени n-1.
Многочлен рп-1(Х) можно найти либо делением многочлена рп(Х) на двучлен (Х - £) «столбиком», либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя Х - £, либо методом неопределенных коэффициентов.
Пример1. Разложить на множители многочлен.
Х4-5Х3+7Х2-5Х+6
Решение . Поскольку коэффициент при Х4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, если они существуют, являются делителями числа 6, т. е.могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим многочлен через р4(Х). Так как р4(1)=4 и р4(-4)=23, то числа 1 и -1не являются корнями многочлена р4(Х),и, значит, данный многочлен делится на двучлен Х-2. Поэтому
Х4 - 5Х3+7Х2-5Х+6 Х - 2
Х4 – 2Х3 Х3 – 3Х2+Х - 3
https://pandia.ru/text/78/002/images/image007_17.gif" width="38">При m2+а=0 Х1= - m, Х2=m
При m2+а>0 Х1=m, Х2= m – √ m2+a
Пример 4: Решить уравнение
Х(Х+1)+(Х+1)(Х+2)+(Х+2)(Х+3)+(Х+3)(Х+4)(Х+6)+(Х+5)(Х+6)+(Х+6)(Х+7)+(Х+7)(Х+8)+(Х+8)(Х+9)+(Х+9)(Х+10)=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10
Решение: Легко заметить что Х1=0 и Х2= - 10 являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное.
А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно решено.
Ответ: Х1=0, Х2= - 10
Использование суперпозиции функции.
Иногда можно найти корень уравнения, если заметить, что функция, находящаяся в одной из частей уравнения, является суперпозицией некоторых более простых функций.
Пример1. Решить уравнение
(X2 + 2X – 5) + 2 (X2 + 2X – 5) – 5 = X. (1)
Решение. Обозначим f(x) = X2 + 2X – 5, уравнение (1) можно переписать в виде f(f(x)) = X. Теперь очевидно, что если Х0 – корень уравнения f(X) = X, то Х0 и корень уравнения f(f(x)) = X. Корни уравнения X2 + 2X – 5 =Х есть Х1=(-1+√ 21)/2 и Х2 = (-1 - √21)/2 отсюда следует, что уравнение (1) имеет эти корни. Переписав уравнение (1) в виде.
X4 + 4X3 – 4X2 – 17X + 10 = 0 (2)
и разделив многочлен (2) на многочлен (X – X1) (X – X2), получим, что уравнение (2) можно записать в виде
(X2 + X – 5) (X2 + 3X – 2) = 0,
отсюда следует корнями уравнения (1) наряду с X1 и X2 являются также корни уравнения
X2 + 3X – 2 = 0,
т. е. числа X3 = (-3 + √17)/2 и X4 = (-3 – √17)/2.
Ответ: X1,2 = (-1 ± √21)/2; X3,4 = (-3 ± √17)/2.
Раскрытие знаков модулей.
Основной метод решения уравнений, содержащих модули, состоит в следующем: надо разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых каждое из выражений, находящихся под знаком модуля, сохраняет знак. На каждом таком множестве уравнение записывается без знака модуля и затем решается на этом множестве. Объединение решений, найденных на всех этих множествах - частях ОДЗ уравнения, составляет множество всех его решений.
Пример1. Решить уравнение
X22x + 1 + 2x – 3 + 2 = X22x – 3 + 4 + 2x –
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех действительных X. Разобьём ОДЗ на два промежутка:
А) X – 3 ≥ 0
Б) X – 3 < 0
А) Пусть X ≥ 3 тогда X – 3 = X – 3 и уравнение (1) запишется на этом множестве так:
X22x + 1 + 2x – 1 = X22x + 1 + 2x – 1
Это уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного X, т. е. его решениями являются все действительные X. Из них условию X ≥ 3 удовлетворяют все X из промежутка функция h(Х)= sinпХ неположительная.⇒ на промежутке (1;2] уравнение (1) решений не имеет.
Если же Х>2, то sinпХ≤1, X3 – X=(Х2 – 1)>2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+~) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, Х=0, Х=1 и Х= - 1и только они являются решениями исходного уравнения.
Ответ: Х1=0,Х2=1, Х3= -1.
Пример3: Решить уравнение.
2 sinпХ=Х – п/2 – Х+п/2. (2)
Решение:
Обозначим =Х – п/2 – Х+п/2 через f(X). Из определения абсолютной величины следует, что f (X)=п при Х≤ - п/2, f(Х)= -2Х при – п/2 Рассмотрим Х из промежутка (- п/2,п/2). На этом промежутке уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпХ= - 2Х, т. е. в виде. sinХ= - Х/п. (3) Ясно, что Х=0 есть решение уравнения (3), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (3) на промежутке (- п/2;п/2) не имеет. Для Х≠0 уравнение (3) равносильно уравнению. Для любого значения ХЄ(- п/2;0)U(0;п/2), функция f(X)=sinX/Х принимает только положительные значения, поэтому уравнение (3) не имеет решений на множестве (- п/2;0)U(0;п/2). Ответ:
Х=0; Х=(-1)пп/6+Пn, n= 1,2…;=(-1)m+1п/6+Пm, m=1,2… Заключение.
В ходе изучения данной темы, я сделала следующий вывод, нестандартные приемы решения уравнений позволяют получить результат более рациональным способом. При использовании нестандартных методов решение занимает меньше времени, а также оно более интересно. Список использованной литературы.
, . «Задачи по математике. Уравнения и неравенства». «Математика на устном экзамене». , «Задачи на составление уравнений». , «Уравнения и неравенства». , «Математика. Методы решения задач». Соловьёв А. Ф. «Уравнительные вычисления». Цель – обучение учащихся решению
нестандартных уравнений и неравенств за счет
глубокого понимания теоретических основ,
применяемых в математике. Задачи, решаемые в процессе обучения: 1. Организационный момент.
Постановка цели и задач урока. Создание условий
для успешной совместной деятельности (Работа на
уроке оценивается бальной системой, ведётся
электронный журнал). 2. Проверка домашнего задания
(электронный журнал к уроку). Учащиеся проверяют
домашнее задание (сравнивают свои решения с
готовыми решениями работа в парах.) в документе
Microsoft Office Word на экране (заранее подготовленные
учителем решения). Домашняя работа Решите уравнения: Решение. Решение. Перепишем данное уравнение в виде: 3. Решение. Корень уравнения не удовлетворяет условию . 3.Устный опрос учащихся.
Взаимопроверка и выставление баллов в карточку
учёта результатов, в ходе урока результаты
заносятся в электронный журнал 1. Как решаются уравнения вида? 2. Как решаются уравнения вида 3. Как решаются логарифмические
уравнения с разными основаниями? 4. Как решаются уравнения, в которых
фигурирует функция вида ? 4.Проблемное задание (работа в группах),
задание лежит на каждой парте на красных
листочках. Учащиеся записывают в тетради дату и
тему урока и приступают к решению задачи. 1. Решите уравнение уже на этом этапе понятно, что решение
будет очень громоздко. Возникла проблема - решать
это уравнение дальше или искать другой способ
решения? Т.к. логарифмируемые выражения для
всех х
больше 1, то каждый логарифм –
положительное или равное 0 число. Чтобы сумма была равна 0, необходимо
складывать нули или числа противоположные,
поэтому каждый логарифм может принимать только
значение равное нулю, т.е.: Итак, делаем вывод, что уравнения можно
решить с помощью использования свойств функции. Для самостоятельного решения:
Решите уравнение: . левая часть уравнения – функция
монотонно убывающая, а правая – постоянная,
следовательно, уравнение имеет единственный
корень х=1
(легко подбирается). 5. Изучение новой темы. Для решения
большинства уравнений и неравенств,
встречающихся на экзаменах, в частности на ЕГЭ,
достаточно владеть школьным курсом математики,
но при этом необходимо уметь их решать не только
с помощью стандартных приемов, но и с помощью
“нестандартных приемов и методов”. Вот мы с вами
на следующих пяти уроках и будем отрабатывать
такие методы и приемы. Вы уже при решении некоторых уравнений
умеете применять метод подстановки. Сегодня мы
уже узнали, что при решении уравнений можно
применять свойства функций. Теперь мне хочется показать
применение свойства ограниченности. 1. Теорема 1. Если и , то уравнение Решите уравнение Перепишем уравнение в виде: Так как и ,
следовательно, данное уравнение равносильно
системе: 2.Метод оценки Нередко признаком того, что следует
применять метод оценок, является наличие в
уравнении функций разной природы. Решите уравнение Равенство достигается, если Подставив найденные значения x в
уравнение (2), получим: 3. Использование метода монотонности
для решения нестандартных уравнений и
неравенств Если y=f(x) - монотонная функция, то
уравнение f(x) = c имеет не более одного корня Пусть функция y=f(x) возрастает на
промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом
промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на
промежутке М не более одного корня. Пусть область определения функции f(t)
есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна
и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает)
на этом промежутке. Тогда уравнение равносильно системе: При решении уравнений вида полезна
следующая теорема: Если Монотонно возрастающая (убывающая)
функция, уравнения и
эквивалентны. Решите уравнение
: Решение. - возрастающая функция (как сумма двух
возрастающих функций). В правой части уравнения – постоянное
число. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не
более одного решения. Очевидно, что =2 – корень. Ответ: =2. 4. Использование области определения
функций при решении уравнений и неравенств Рассматривается метод, когда при
рассмотрении уравнения или неравенства
выясняется, что обе его части определены на
некотором множестве, состоящем из одного или
нескольких чисел. Этот метод наиболее результативен при
решении уравнений и неравенств, в состав которых
входят функции y =; y =; y=; y = .
При решении уравнения или неравенства
перенести все члены в левую часть и рассмотреть
функцию f (x)
. Найти её область определения Д
(f)
. При этом: 1). Если Д (f) = ,
то уравнение или
неравенство решений не имеют. 2). Если Д (f) = {а 1 ; а 2 ; а 3 …..а n },
то действительные решения данного уравнения и
неравенства находятся среди чисел а 1 ; а 2 ;
а 3 …..а n .
Теперь необходимо
проверить, какие из данных чисел являются
решениями уравнения или неравенства. 3). Если Д (f) = [а; в],
то нужно
проверить верно ли уравнение или неравенство на
концах промежутка и в каждом промежутке, причём,
если a < 0
, а в > 0
, то необходима проверка
на промежутках (а; 0) и }
?
-решение системы.